Réduction d’une quadrique : quadrique_reduite reduced_quadric

### 6.60.9 Réduction d’une quadrique : quadrique_reduite reduced_quadric

quadrique_reduite a un ou deux arguments : l’expression d’une quadrique et le vecteur de composantes les variables utilisées si il est différent de [x,y,z].
quadrique_reduite renvoie une liste d’éléments :

- l’origine,
- la matrice d’un repère dans lequel la quadrique est réduite,
- 0 ou 1 (0 si la quadrique est dégénérée),
- l’équation réduite de la quadrique dans ce repère,
- un vecteur contenant son équation paramétrique ou ses équations paramétriques si la quadrique est composée de plusieurs nappes.

Attention ! les équations paramétriques sont écrites à l’aide des variables u,v : ces variables doivent donc être libres (purge u,v avant d’appeler quadrique_reduite).
On tape :

quadrique_reduite(7*x`^`2+4*y`^`2+4*z`^`2+ 4*x*y-4*x*z-2*y*z-4*x+5*y+4*z-18)

On obtient une liste contenant :

- L’origine du repère (centre de symétrie de la quadrique) :
  [11/27,(-26)/27,(-29)/54],
- La matrice de passage :
  [[(sqrt(6))/3,(sqrt(5))/5,(-(sqrt(30)))/15], [(sqrt(6))/6,0,(sqrt(30))/6], [(-(sqrt(6)))/6,(2*sqrt(5))/5,(sqrt(30))/30]],
- 1 donc la quadrique n’est pas dégénérée
- l’équation réduite de la quadrique dans ce repère :
  0,9*x`^`2+3*y`^`2+3*z`^`2+(-602)/27,
- l’équation paramétrique de la quadrique (dans le premier repère), de paramètres [u,v] :
  [[(sqrt(6)*sqrt(602/243)*sin(u)*cos(v))/3+ (sqrt(5)*sqrt(602/81)*sin(u)*sin(v))/5+ ((-(sqrt(30)))*sqrt(602/81)*cos(u))/15+11/27, (sqrt(6)*sqrt(602/243)*sin(u)*cos(v))/6+ (sqrt(30)*sqrt(602/81)*cos(u))/6+(-26)/27, ((-(sqrt(6)))*sqrt(602/243)*sin(u)*cos(v))/6+ (2*sqrt(5)*sqrt(602/81)*sin(u)*sin(v))/5+ (sqrt(30)*sqrt(602/81)*cos(u))/30+(-29)/54], u=(0 .. pi),v=(0 .. (2*pi)),ustep=(pi/20), vstep=((2*pi)/20)]]

Donc la quadrique est un ellipsoïde eta pour équation :

9*x2+3*y2+3*z2+(−602)/27

dans le repère d’origine [11/27,(−26)/27,(−29)/54]
de matrice de passage P est :

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ |  |
√ |
6
3
√ |
5
5
− |
√ |
30
15
√ |
6
6
| 0 |
√ |
30
6
− |
√ |
6
6
2 | √ |
5
5
√ |
30
30
|  | ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Son équation paramétrique est :

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ |
x = |
√ |
6
√
602
243
| sin(u)cos(v)
3
| + |
√ |
5
√
602
81
| sin(u)sin(v)
5
| − |
√ |
30
√
602
81
| cos(u)
15
| + |
11
27
y = |
√ |
6
√
602
243
| sin(u)cos(v)
6
| + |
√ |
30
√
602
81
| cos(u))
6
| − |
26
27
z = |
− | √ |
6
√
602
243
| *sin(u)cos(v)
6
| + |
2 | √ |
5
√
602
81
| sin(u)sin(v)
5
| + |
√ |
30
√
602
81
| cos(u)
30
| − |
29
54

Remarque :
Lorsque la quadrique est dégénérée en 1 ou 2 plan(s), chaque plan n’est pas donné par son équation paramétrique mais par la liste constituée par un vecteur normal au plan et un point du plan.
On tape :

quadrique_reduite(x`^`2-y`^`2+3*x+y+2)

On obtient :

[[(-3)/2,1/2,0],[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,-1]],0,x`^`2-y`^`2, [hyperplan([1,1,0],[(-3)/2,1/2,0]), hyperplan([1,-1,0],[(-3)/2,1/2,0])]]