Forme normale de Smith dans ℤ : ismith

### 6.57.14 Forme normale de Smith dans ℤ : ismith

ismith a comme argument une matrice à coefficients dans ℤ.
ismith renvoie les matrices U, B et V tels que U et V sont inversibles dans ℤ, B est diagonale avec B[i,i] divise B[i+1,i+1] et on a B=U*A*V.
Les B[i,i] s’appellent facteurs invariants et permettent entre autre de trouver la structure des groupes abéliens de type fini.
On tape :

A:=[[9,-36,30],[-36,192,-180],[30,-180,180]]; U,B,V:=ismith(A)

On obtient :

[[-3,0,1],[6,4,3],[20,15,12]], [[3,0,0],[0,12,0],[0,0,60]], [[1,24,-30],[0,1,0],[0,0,1]]

Les facteurs invariants sont 3, 12 et 60.