Développement réciproque d’un développement en séries en 0 : revert

### 6.37.5 Développement réciproque d’un développement en séries en 0 : revert

revert a comme argument une expression qui est le début du développement en séries en 0 d’une fonction f.
revert renvoie le développement en séries en 0 de g(f(0)+x) où g vérifie g(f(x))=x.
On tape :

revert(x+x`^`2+x`^`4)

On obtient :

x-x`^`2+2*x`^`3-6*x`^`4

En effet la fonction f vérifie : f(0)=0, f′(0)=1, f"(0)=2,f′"(0)=0,f(4)(0)=24 et si g(f(x))=x on en déduit en dérivant cette identité que : g(0)=0,g′(0)=1/f′(0)=1,g″(0)=−2,g‴(0)=12, g(4)(0)=−15*8−24=−144=−24*6 On tape le début du développement en 0 de exp(x) :

revert(1+x+x`^`2/2+x`^`3/6+x`^`4/14)

On obtient le début du développement en x=0 de ln(1+x) :

x-x`^`2/2+2*x`^`3/3-x`^`4/4