Επίλυση διαφορικών εξισώσεων : desolve deSolve dsolve

### 1.53.1 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων : `desolve deSolve
dsolve`

`desolve` (ή `deSolve`) μπορεί να λύσει:

- γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές,
- γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης,
- πρώτης τάξης διαφορικές εξισώσεις χωρίς y,
- πρώτης τάξης διαφορικές εξισώσεις χωρίς x,
- πρώτης τάξης διαφορικές εξισώσεις με χωρισμένες μεταβλητές,
- πρώτης τάξης ομογενείς διαφορικές εξισώσεις (y′=F(y/x)),
- πρώτης τάξης διαφορικές εξισώσεις με ολοκληρωτικό παράγοντα,
- πρώτης τάξης διαφορικές εξισώσεις `Bernoulli` (a(x)y′+b(x)y=c(x)yn),
- πρώτης τάξης διαφορικές εξισώσεις `Clairaut` (y=x*y′+f(y′)).

`desolve` παίρνει σαν ορίσματα :

- εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι η τρέχουσα μεταβλητή (εδώ υποτίθεται ότι είναι το x),
  - την διαφορική εξίσωση (ή την λίστα της διαφορικής εξίσωσης και των αρχικών συνθηκών)
  - την άγνωστο (συνήθως `y`).
  Στη διαφορική εξίσωση, η συνάρτηση y παρίσταται ως y, η πρώτη της παράγωγος y′ παρίσταται ως `y′`, και η δεύτερη παράγωγός της y′′ γράφεται ως `y″`.
  Για παράδειγμα `desolve(y``″``+2*y``′``+y,y)` ή
  `desolve([y``″``+2*y``′``+y,y(0)=1,y``′``(0)=0],y)`.
- εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή δεν είναι η τρέχουσα μεταβλητή, για παράδειγμα t αντί για x,
  - την διαφορική εξίσωση (ή την λίστα της διαφορικής εξίσωσης και των αρχικών συνθηκών),
  - την μεταβλητή, π.χ. `t`
  - την άγνωστο σαν μεταβλητή `y` ή σαν συνάρτηση `y(t)`.
  Στη διαφορική εξίσωση, η συνάρτηση y παρίσταται ως y(t), η πρώτη της παράγωγος y′ παρίσταται ως `diff(y(t),t)`, και η δεύτερη παράγωγός της y′′ γράφεται ως `diff(y(t),t$2)`.
  Για παράδειγμα :
  `desolve(diff(y(t),t$2)+2*diff(y(t),t)+y(t),y(t))`, ή
  `desolve(diff(y(t),t$2)+2*diff(y(t),t)+y(t),t,y)` και

      desolve([diff(y(t),t$2)+2*diff(y(t),t)+y(t),
               y(0)=1,y'(0)=0],y(t)), or
      desolve([diff(y(t),t$2)+2*diff(y(t),t)+y(t),
               y(0)=1,y'(0)=0],t,y)

Εάν δεν υπάρχουν αρχικές συνθήκες (ή μια αρχική συνθήκη για μια εξίσωση δευτέρας τάξης), `desolve` επιστρέφει την γενική λύση ως προς τις σταθερές ολοκλήρωσης `c_0, c_1`, όπου `y(0)=c_0` και `y``′``(0)=c_1`, ή μια λίστα λύσεων.
Παραδείγματα

- Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης με σταθερούς συντελεστές.
  1. Λύστε :

     y″+y=cos(x)

     Εισάγετε (πληκτρολογώντας δύο φορές ′ για `y``″`):
     `desolve(y``″``+y=cos(x),y)`
     ή εισάγετε :
     `desolve((diff( diff(y))+y)=(cos(x)),y)`
     Έξοδος :
     `c_0*cos(x)+(x+2*c_1)*sin(x)/2`
     `c_0, c_1` είναι οι σταθερές της ολοκλήρωσης: `y(0)=c_0` και `y``′``(0)=c_1`.
     Εάν η μεταβλητή δεν είναι `x` αλλά `t`, εισάγετε :
     `desolve(derive(derive(y(t),t),t)+y(t)=cos(t),t,y)`
     Έξοδος :
     `c_0*cos(t)+(t+2*c_1)/2*sin(t)`
     `c_0, c_1` είναι οι σταθερές της ολοκλήρωσης : `y(0)=c_0` και `y``′``(0)=c_1`.
  2. Λύστε :

     y″+y=cos(x), y(0)=1

     Είσοδος :
     `desolve([y``″``+y=cos(x),y(0)=1],y)`
     Έξοδος :
     `[cos(x)+(x+2*c_1)/2*sin(x)]`
     τα στοιχεία του διανύσματος είναι λύσεις (εδώ υπάρχει μόνο ένα στοιχείο, έτσι έχουμε ακριβώς μία λύση που εξαρτάται από το `c_1`).
  3. Λύστε :

     y″+y=cos(x) (y(0))2=1

     Είσοδος :
     `desolve([y``″``+y=cos(x),y(0)```^```2=1],y)`
     Έξοδος:
     `[-cos(x)+(x+2*c_1)/2*sin(x),cos(x)+(x+2*c_1)/2*sin(x)]`
     κάθε στοιχείο αυτής της λίστας είναι μια λύση, έχουμε δύο λύσεις που εξαρτώνται από τη σταθερά `c_1` (y′(0)=c1) και που αντιστοιχούν σε y(0)=1 και σε y(0)=−1.
  4. Λύστε :

     y″+y=cos(x), (y(0))2=1 y′(0)=1

     Είσοδος:
     `desolve([y``″``+y=cos(x),y(0)```^```2=1,y’(0)=1],y)`
     Έξοδος :
     `[-cos(x)+(x+2)/2*sin(x),cos(x)+(x+2)/2*sin(x)]`
     κάθε στοιχείο αυτής της λίστας είναι μια λύση (έχουμε δύο λύσεις).
  5. Λύστε :

     y″+2y′+y=0

     Είσοδος :
     `desolve(y``″``+2*y``′``+y=0,y)`
     Έξοδος :
     `(x*c_0+x*c_1+c_0)*exp(-x)`
     Η λύση εξαρτάται από δύο σταθερές ολοκλήρωσης : `c_0, c_1` ( `y(0)=c_0` και `y``′``(0)=c_1`).
  6. Λύστε:

     y″−6y′+9y=xe3x

     Είσοδος:
     `desolve(y``″``-6*y``′``+9*y=(x*exp(3*x),y)`
     Έξοδος :
     `(x```^```3+(-(18*x))*c_0+6*x*c_1+6*c_0)*1/6*exp(3*x)`
     η λύση εξαρτάται από δύο σταθερές ολοκλήρωσης : `c_0, c_1` ( `y(0)=c_0` και `y``′``(0)=c_1`).
- Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.
  1. Λύστε :

     xy′+y−3x2=0

     Είσοδος :
     `desolve(x*y``′``+y-3*x```^```2,y)`
     Έξοδος :
     `(3*1/3*x```^```3+c_0)/x`
  2. Λύστε :

     y′+x*y=0, y(0)=1

     Είσοδος :
     `desolve([y``′``+x*y=0, y(0)=1]),y)`
     ή :
     `desolve((y``′``+x*y=0) && (y(0)=1),y)`
     Έξοδος :
     `[1/(exp(1/2*x```^```2))]`
  3. Λύστε :

     x(x2−1)y′+2y=0

     Είσοδος :
     `desolve(x*(x```^```2-1)*y``′``+2*y=0,y)`
     Έξοδος :
     `(c_0)/((x```^```2-1)/(x```^```2))`
  4. Λύστε :

     x(x2−1)y′+2y=x2

     Είσοδος:
     `desolve(x*(x```^```2-1)*y``′``+2*y=x```^```2,y)`
     Έξοδος :
     `(ln(x)+c_0)/((x```^```2-1)/(x```^```2))`
  5. Εάν η μεταβλητή είναι t αντί για x, για παράδειγμα :

     t(t2−1)y′(t)+2y(t)=t2

     Είσοδος :
     `desolve(t*(t```^```2-1)*diff(y(t),t)+2*y(t)=(t```^```2),y(t))`
     Έξοδος :
     `(ln(t)+c_0)/((t```^```2-1)/(t```^```2))`
  6. Λύστε :

     x(x2−1)y′+2y=x2,y(2)=0

     Είσοδος :
     `desolve([x*(x```^```2-1)*y``′``+2*y=x```^```2,y(0)=1],y)`
     Έξοδος :
     `[(ln(x)-ln(2))*1/(x```^```2-1)*x```^```2]`
  7. Λύστε :

     √ |
     1+x2
     | y′−x−y= | √ |
     1+x2

     Είσοδος :
     `desolve(y``′``*sqrt(1+x```^```2)-x-y-sqrt(1+x```^```2),y)`
     Έξοδος :
     `(-c_0+ln(sqrt(x```^```2+1)-x))/(x-sqrt(x```^```2+1))`
- Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης με χωρισμένες μεταβλητές
  1. Λύστε :

     y′=2 | √ |
     y

     Είσοδος :
     `desolve(y``′``=2*sqrt(y),y)`
     Έξοδος :
     `[x```^```2+-2*x*c_0+c_0```^```2]`
  2. Λύστε :

     xy′ln(x)−y(3ln(x)+1)=0

     Είσοδος :
     `desolve(x*y``′``*ln(x)-(3*ln(x)+1)*y,y)`
     Έξοδος :
     `c_0*x```^```3*ln(x)`
- Διαφορικές εξισώσεις `Bernoulli` a(x)y′+b(x)y=c(x)yn όπου n είναι μια πραγματική σταθερά.
  Η μέθοδος που χρησιμοποιείται είναι να διαιρέσουμε την εξίσωση με yn, έτσι ώστε να γίνει μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ως προς u=1/yn−1.
  1. Λύστε :

     xy′+2y+xy2=0

     Είσοδος :
     `desolve(x*y``′``+2*y+x*y```^```2,y)`
     Έξοδος :
     `[1/(exp(2*ln(x))*(-1/x+c_0))]`
  2. Λύστε :

     xy′−2y=xy3

     Είσοδος :
     `desolve(x*y``′``-2*y-x*y```^```3,y)`
     Έξοδος :
     `[((-2*1/5*x```^```5+c_0)*exp(-(4*log(x))))```^```(1/-2),`
     `-((-2*1/5*x```^```5+c_0)*exp(-(4*log(x))))```^```(1/-2)]`
  3. Λύστε :

     x2y′−2y=xe4/xy3

     Είσοδος :
     `desolve(x*y``′``-2*y-x*exp(4/x)*y```^```3,y)`
     Έξοδος :
     `[((-2*ln(x)+c_0)*exp(-(4*(-(1/x)))))```^```(1/-2),`
     `-(((-2*ln(x)+c_0)*exp(-(4*(-(1/x)))))```^```(1/-2))]`
- Ομογενείς διαφορικές εξισώσεεις πρώτης τάξης (y′=F(y/x), η μέθοδος της ολοκλήρωσης συνίσταται στο να ψάξουμε για t=y/x αντί για y).
  1. Λύστε :

     (3x3y′=y(3x2−y2)

     Είσοδος :
     `desolve(3*x```^```3*diff(y)=((3*x```^```2-y```^```2)*y),y)`
     Έξοδος :
     `[0,[c_0*exp((3*1/2)/(‘t‘```^```2)),
     ‘t‘*c_0*exp((3*1/2)/(‘t‘```^```2))]]`
     έτσι, οι λύσεις είναι y=0 και η οικογένεια των καμπυλών των παραμετρικών εξισώσεων x=c0exp(3/(2t2)), y=t*c0exp(3/(2t2)) (η παράμετρος δηλώνεται με `‘t‘` στην απάντηση).
  2. Λύστε :

     xy′=y+ | √ |
     x2+y2

     Είσοδος :
     `desolve(x*y``′``=y+sqrt(x```^```2+y```^```2),y)`
     Έξοδος :
     `[(-i)*x,(i)*x,[c_0/(sqrt(‘t‘```^```2+1)-‘t‘),
     (‘t‘*c_0)/(sqrt(‘t‘```^```2+1)-‘t‘)]]`
     άρα οι λύσεις είναι :

     y=ix,y=−ix

     και η οικογένεια των καμπυλών των παραμετρικών εξισώσεων

     x=c0/( | √ |
     t2+1
     | −t), y=t*c0/( | √ |
     t2+1
     | −t)

     (η παράμετρος δηλώνεται με `‘t‘` στην απάντηση).
- Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης με ολοκληρωτικό παράγοντα. Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με μια συνάρτηση του x,y, γίνεται μια κλειστή διαφορική μορφή.
  1. Λύστε :

     yy′+x

     Είσοδος :
     `desolve(y*y``′``+x,y)`
     Έξοδος :
     `[sqrt(-2*c_0-x```^```2),-(sqrt(-2*c_0-x```^```2))]`
     Σε αυτό το παράδειγμα, το xdx+ydy είναι κλειστό, ο ολοκληρωτικός παράγοντας ήταν 1.
  2. Λύστε :

     2xyy′+x2−y2+a2=0

     Είσοδος :
     `desolve(2*x*y*y``′``+x```^```2-y```^```2+a```^```2,y)`
     Έξοδος :
     `[sqrt(a```^```2-x```^```2-c_1*x),-(sqrt(a```^```2-x```^```2-c_1*x))]`
     Σε αυτό το παράδειγμα, ο ολοκληρωτικός παράγοντας ήταν 1/x2.
- Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης χωρίς το x.
  Λύστε :

  (y+y′)4+y′+3y=0

  Αυτό το είδος εξισώσεων δεν μπορεί να λυθεί άμεσα με το `Xcas`, εξηγούμε όμως πως λύνονται με τη βοήθειά του. Η ιδέα είναι να βρούμε μια παραμετρική αναπαράσταση του F(u,v)=0 όπου η εξίσωση είναι F(y,y′)=0, Έστω u=f(t),v=g(t) μια τέτοια παραμετροποίηση του F=0, τότε y=f(t) και dy/dx=y′=g(t). Άρα,

  dy/dt=f′(t)=y′*dx/dt=g(t)*dx/dt

  Η λύση είναι η καμπύλη των παραμετρικών εξισώσεων x(t), y(t)=f(t), όπου x(t) είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης g(t)dx=f′(t)dt.
  Πίσω στο παράδειγμα, θέτουμε y+y′=t, οπότε:

  y=−t−8*t4, y′=dy/dx=3*t+8*t4 dy/dt=−1−32*t3

  και επομένως

  (3*t+8*t4)*dx=(−1−32*t3)dt

  Είσοδος :
  `desolve((3*t+8*t```^```4)*diff(x(t),t)=(-1-32*t```^```3),x(t))`
  Έξοδος :
  `-11*1/9*ln(8*t```^```3+3)+1/-9*ln(t```^```3)+c_0`
  Η λύση είναι η καμπύλη της παραμετρικής εξίσωσης:

  x(t)=−11*1/9*ln(8*t3+3)+1/−9*ln(t3)+c0, y(t)=−t−8*t4

- Διαφορικές εξισώσεις `Clairaut` πρώτης τάξης (y=x*y′+f(y′)).
  Οι λύσεις είναι οι γραμμές Dm της εξίσωσης y=mx+f(m) όπου m είναι μια πραγματική σταθερά.
  1. Λύστε :

     xy′+y′3−y)=0

     Είσοδος :
     `desolve(x*y``′``+y``′```^```3-y),y)`
     Έξοδος :
     `c_0*x+c_0```^```3`
  2. Λύστε :

     y−xy′= | √ |
     a2+b2*y′2
     | =0

     Είσοδος :
     `desolve((y-x*y``′``-sqrt(a```^```2+b```^```2*y``′```^```2),y)`
     Έξοδος :
     `c_0*x+sqrt(a```^```2+b```^```2*c_0```^```2)`