Les fonctions de Airy : Airy_Ai et Airy_Bi

### 6.10.19 Les fonctions de Airy : Airy_Ai et Airy_Bi

Airy_Ai et Airy_Bi a comme argument un réel x.
Airy_Ai et Airy_Bi sont deux solutions indépendantes de l’équation :
y′′−x*y=0.
On définit :
Airy_Ai(x) = (1/π) ∫0∞cos(t3/3 + x*t) dt
Airy_Bi(x) = (1/π) ∫0∞(e− t3/3 + sin( t3/3 + x*t)) dt
On a aussi :
Airy_Ai(x) vérifie :
Airy_Ai(x)=Airy_Ai(0)*f(x)+Airy_Ai′(0)*g(x) et
Airy_Bi vérifie :
Airy_Bi(x)=√3(Airy_Ai(0)*f(x)-Airy_Ai′(0)*g(x))
où f et g sont deux séries entières solutions de w′′−x*w=0 :

f(x)= |
∞
∑
k=0
| 3k | ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ |
Γ(k+ |
1
3
| )
Γ( |
1
3
| )
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ |
x3k
(3k)!

g(x)= |
∞
∑
k=0
| 3k | ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ |
Γ(k+ |
2
3
| )
Γ( |
2
3
| )
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ |
x3k+1
(3k+1)!

On tape :

Airy_Ai(1)

On obtient :

0.135292416313

On tape :

Airy_Bi(1)

On obtient :

1.20742359495

On tape :

Airy_Ai(0)

On obtient :

0.355028053888

On tape :

Airy_Bi(0)

On obtient :

0.614926627446