Exercices de probabilités

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# Chapitre 30 Exercices de probabilités

## 30.1 Loi géométrique

### 30.1.1 Exercice

Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules rouges. On les tire une à une avec remise jusqu’à ce que l’on obtienne une boule blanche. Soit X la variable aléatoire "rang de la première boule blanche". Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.
X suit une loi géométrique de paramètre p=1/2.
On a :
Proba(X=n)=(1−p)n−1*p=1/2n
On a bien :
∑k=1+∞ 1/2k=1/2* ∑k=0+∞1/2k−1=1/2*2=1
La fonction de répartition de X est :
F(n)=Proba(X≤ n)=∑k=1n1/2k=1−1/2n+1
On sait que : E(X)=1/p=2
σ2(X)=1/p=2
On vérifie avec Xcas :
sum(k/2`^`k,k=0..inf) renvoie 2
E(X2)=1/p=2
On vérifie avec Xcas :
sum(k`^`2/2`^`k,k=0..inf) renvoie 6
donc σ2(X)=E(X2)−E(X)2=2

### 30.1.2 Exercice variante non géométrique

Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules rouges. On les tire une à une sans remise jusqu’à ce que l’urne soit vide.
Soit X la variable aléatoire "rang de la première boule blanche". Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.

La loi de Bernouilli que l’on repète n’est pas la même car on ne remet pas les boules dans l’urne : ce n’est donc pas une loi géométrique. Trouver la loi de X c’est trouver : Proba(X=n) puis sa fonction de repartition F.
X ne peut prendre que les valeurs 1,2,3,4,5,6.
On a (on fait les calculs avec Xcas) :
Proba(X=1)=5/10=1/2 (car on a 10 boules dont 5 blanches)
Proba(X=2)=1/2*5/9=5/18=comb(5,1)/comb(10,1)*5/9 (car au 2ième tirage il reste 9 boules dont 5 blanches)
Proba(X=3)=1/2*4/9*5/8=5/36=comb(5,2)/comb(10,2)*5/8 (car au 3ième tirage il reste 8 boules dont 5 blanches)
Proba(X=4)=1/2*4/9*3/8*5/7=5/84=comb(5,3)/comb(10,3)*5/7
Proba(X=5)=1/2*4/9*3/8*2/7*5/6=5/252=comb(5,4)/comb(10,4)*5/6
Proba(X=6)=1/2*4/9*3/8*2/7*1/6*5/5=1/252=comb(5,5)/comb(10,5)*5/5
On a la formule : Proba(X=n)=comb(5,n−1)/comb(10,n−1)*5/(11−n) Donc :
F(1)=1/2
F(2)=1/2+5/18=7/9
F(3)=7/9+5/36 =11/12
F(4)=11/12+5/84=41/42
F(5)=41/42+5/252=251/252
F(6)=251/252+1/252=1
On vérifie avec Xcas par exemple :
sum(comb(5,n-1)/comb(10,n-1)*5/(11-n),n=1..2) renvoie 7/9
sum(comb(5,n-1)/comb(10,n-1)*5/(11-n),n=1..2) renvoie 41/42
E(X)=1/2+5/9+5/12+4/21+25/252+6/252=25/14
E(X2)=1/2+10/9+15/12+16/21+125/252+36/252=179/42
σ2(X)=179/42-25*25/14/14=631/588

## 30.2 La loi négbinomiale

### 30.2.1 Définition

La loi binomiale négative est une distribution de probabilité discrète. Elle dépend de 2 paramètres : un entier n (le nombre de succès attendus) et un réel p de ]0,1[ (la probabilité d’un succés).
On la note NegBin(n,p).
Elle permet de décrire la situation suivante : on fait une suite de tirages indépendants (avec pour chaque tirage, la probabilité p d’avoir un succès) jusqu’à obtenir n succès. La variable aléatoire représentant le nombre d’échecs qu’il a fallut avant d’avoir n succès, suit alors une loi binomiale négative.
Si on définit comb(n,k) pour n<0 par comb(n,k)=n*(n-1)*..*(n-k-1)/k!, alors Si X ∈ NegBin(n,p) (n ∈ ℕ et p ∈ ]0;1[) alors Proba(X=k)=pn*(p-1)k*comb(-n,k) ce qui justifie le nom de loi binomiale négative et qui facilite le calcul de l’espérance (égale à n(1−p)/p) et de la variance (égale à n(1−p)/p2).

### 30.2.2 Exercice

Dans un pays imaginaire on impose aux familles d’avoir des enfants jusquà la naissance d’un garçon et de ne plus avoir d’enfants après la naissance de ce garçon.
Est-ce que cette loi favorise la naissance des filles ? On répondra à cette question en supposant que dans ce pays :

- la probabilité d’avoir un garçon est égale à 0.5 et qu’une famille peut avoir un nombre infini d’enfants.
- la probabilité d’avoir un garçon est égale à 0.5 et qu’une famille ne peut pas avoir plus de 10 enfants.
- la probabilité d’avoir un garçon est égale à p (par exemple p=105/205=21/41) et qu’une famille ne peut pas avoir plus de n enfants (par exemple n=10).

Une solution

- Soit X la variable aléatoire égale au nombre de filles d’une famille. X suit une loi négbinomiale NegBin(1,0.5) Donc E(X)=(1−0.5)/0.5=1.
  Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de garçons d’une famille. Y est constant et on a Y=1 donc E(Y)=1 Donc cette loi ne favorise pas la naissance des filles ni celle des garçons.
- Soit X la variable aléatoire égale au nombre de filles d’une famille. Notons p=1/2.
  On a p=1−p donc :
  Proba(X=0)=p
  Proba(X=1)=p2
  ....
  Proba(X=k)=pk+1 pour k=0..9
  Proba(X=10)=p10
  Donc :
  E(X)=∑k=09kpk+1+10*p10
  On peut faire en exercice le calcul de ∑k=1n(kak−1 en dérivant ∑k=0nak=(a(n+1)−1)/(a−1).
  On obtient :
  ∑k=1n(kak−1=(n*an+1−(n+1)*an+1)/(a−1)2
  Calculons avec Xcas ∑k=09kpk+1+10*p10, on tape :
  p:=1/2
  sum(k*p`^`(k+1),k=0..9)+10*p`^`10
  On obtient :
  1023/1024
  On a bien :
  p2∑k=0n(kpk−1=p2(9p10−10p9+1)/p2+10*p10=19*p10−10*p9+1=p10*(19−20)+1=1−p10=1023/1024 Avec evalf on obtient :
  0.990234375
  Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de garçons d’une famille.
  On a :
  Proba(Y=0)=p10
  Proba(Y=1)=1−p10
  Donc :
  E(Y)=1−p10 On tape :
  1-p`^`10
  On obtient :
  1023/1024
  Avec evalf on obtient :
  0.990234375
  Donc cette loi ne favorise pas la naissance des filles ni celle des garçons.
- Soit X la variable aléatoire égale au nombre de filles d’une famille. Notons p la probabilité d’avoir un garçon.
  On a :
  Proba(X=0)=p
  Proba(X=1)=p(1−p)
  ....
  Proba(X=k)=p(1−p)k pour k=0..n−1
  Proba(X=n)=(1−p)n
  Donc :
  E(X)=∑k=0n−1(kp(1−p)k)+n(1−p)n
  Calculons ∑k=0n−1(kp(1−p)k)+n(1−p)n, on tape :
  EX:=simplify(sum(k*p*(1-p)`^`k,k=0..n-1)+1n*(1-p)`^`n)
  On obtient :
  (p*(1-p)`^`n-p-(1-p)`^`n+1)/p
  Donc :
  E(X)=1−p/p(1−(1−p)`^`n)
  Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de garçons d’une famille.
  On a :
  Proba(Y=0)=(1−p)n
  Proba(Y=1)=1−(1−p)n
  Donc :
  E(Y)=1−(1−p)n
  On a donc : E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1−(1−p)n)/p
  Donc :
  E(X)/E(X+Y)=1−p et E(Y)/E(X+Y)=p
  Donc cette loi ne change pas rien quant aux nombres de naissances de filles et de garçons.
  Application numérique
  On tape :
  p:=21/41
  (1-p)*(1-(1-p)`^`10)/p
  On obtient E(X) :
  12773732676335620/13422659310152401
  Avec evalf on obtient E(X) :
  0.951654391367
  1-(1-p)`^`10
  On obtient E(Y) :
  13412419310152401/13422659310152401
  Avec evalf on obtient E(Y) :
  0.999237110936
  On tape (calcul de E(X)+E(Y)) :
  12773732676335620/13422659310152401+13412419310152401/13422659310152401 On obtient :
  638686633816781/327381934393961
  On tape (calcul de E(X)/(E(X)+E(Y))) :
  12773732676335620/13422659310152401/(638686633816781/327381934393961)
  On obtient :
  20/41
  On retrouve la probabilité 1−p. On tape (calcul de E(Y)/(E(X)+E(Y))) :
  13412419310152401/13422659310152401/(638686633816781/327381934393961)
  On obtient :
  21/41
  On retrouve la probabilité p.
  Donc cette loi ne change pas rien quant aux nombres de naissances de filles et de garçons.

## 30.3 La loi uniforme

## 30.4 La loi uniforme

### 30.4.1 Définition

### 30.4.2 Exercice1

On considère un point aléatoire M uniformément réparti sur le disque de centre O et de rayon R c’est à dire que la probabilité pour que M appartienne à un domaine G du disque est proportionnelle à l’aire de G.

On a donc Proba(x∈ G)=(aire de G)/(R2).
Étude de la variable aléatoire X=OM
X varie de 0 à R et la fonction de répartition de X est donc :
F(x)=0 si x≤ 0
F(x)=π x2/π R2=x2/R2= si 0<x ≤ R
F(x)=1 si x > R
La densité de probabilité est donc :
f(x)=0 si x≤ 0 ou x> R
f(x)=2x/R2 si 0<x≤ R
L’éspérance de X est :
E(X)=∫0Rxf(x)dx=∫0R2x2/R2dx=2R/3 On calcule E(X2) : E(X2)=∫0Rx2f(x)dx=∫0R2x3/R2dx=R2/2 La variance de X est :
σ2(X)=E(X2)−E(X)2=R2/2−4R2/9=R2/18

### 30.4.3 Exercice2

Soit la variable aléatoire à 2 dimensions (X,Y) uniformément distribué sur le quart de disque D de centre O, de rayon R situé dans le quart de plan x>0 et y>0.
On demande la fonction de répartition de (X,Y).
La probabilité pour que M=(x,y) appartienne à un domaine G du quart de disque D est proportionnelle à l’aire de G.
Pour calculer la fonction de répartition, on va calculer : l’aire A du quart de disque : A=π R2/4 et
l’aire ASa du secteur : Sa={(x,y)∈ D : a<x<R} qui est aussi l’aire du secteur {(x,y)∈ D : a<y<R}.
Soit α l’angle OxM où M est le point du quart de cercle d’abscisse x. On a : α= acos (x/R) aire de Sa=ASa=α R2/2−x√(R2−ax2)/2 X et Y varient de 0 à R et la fonction de répartition de X,Y est donc :
F(x,y)=0 si x≤ 0 ou y≤ 0
F(x,y)=1 si x≥ R et y≥ R
F(x,y)=4xy/π R2/A si x2+y2≤ R2
F(x,y)=(π R2/4−ASx)/A si x2+y2> R2 et x≤ R et y≥ R
F(x,y)=(π R2/4−ASy)/A si x2+y2> R2 et x≥ R et y≤ R
F(x,y)=(4xy/π R2−ASx−ASy)/A si x2+y2> R2 et x<R et y<R

    F(x,y,R):={
      local a,b,AS,BS,A;
      si type(x)!=DOM_FLOAT ou  type(y)!=DOM_FLOAT alors
        retourne 'F'(x,y,R);
      fsi;
      si x<=0 ou y<=0 alors retourne 0; fsi;
      si x>=R et y>=R alors retourne 1; fsi;
      A:=pi*R^2/4;
      si (x^2+y^2<=R^2) alors retourne x*y/A; fsi;
      si x^2+y^2>R^2 et x<R et y>R alors
        a:=acos(x/R);
        AS:=a*R^2/2-x*sqrt(R^2-x^2)/2;
        retourne (pi*R^2/4-AS)/A;
      fsi;
      si x^2+y^2>R^2 et y<R et x>R alors
        a:=acos(y/R);
        AS:=a*R^2/2-y*sqrt(R^2-y^2)/2;
        retourne (pi*R^2/4-AS)/A;
      fsi;
      si x^2+y^2>R^2 et x<R et y<R alors
        a:=acos(x/R); b:=acos(y/R);
        AS:=a*R^2/2-x*sqrt(R^2-x^2)/2;
        BS:=b*R^2/2-y*sqrt(R^2-y^2)/2;
        retourne (pi*R^2/4-AS-BS)/A;
      fsi;
    }:;

On tape :
plotfunc(F(x,y,1),[x=-1..2,y=-1..2]);
affichage(plotparam([x,sqrt(1-x`^`2),0],x=0..1), 4+epaisseur_ligne_2)
On obtient :

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