Exercice 1

### 11.18.1 Exercice 1

Soit SABCD une pyramide de sommet S dont la base ABCD est un parallélogramme de centre O.
Soient M et N les milieux respectifs de SA et SD.
Montrer que les plans OMN et SBC sont parallèles.
Pour faire la figure, on tape :

    // dessin exo1
    A:=point(2,2,0);
    B:=point(-2,2,0);
    C:=point(-3,-2,0);
    D:=point(1,-2,0);
    S:=point(0,0,4);
    polyedre(S,A,B,C,D);
    M:=milieu(S,A);
    N:=milieu(S,D);
    O:=milieu(A,C);
    P:=plan(O,M,N);
    Q:=plan(S,B,C);
    est_parallele(P,Q);

Pour faire la démonstration avec Xcas, on tape :

    // demo exo1
    A:=point(a,b,c);
    B:=point(d,e,f);
    D:=point(u,v,w);
    C:=B+(D-A);
    //S:=isobarycentre(A,B,C,D)+t*cross(B-A,D-A);
    S:=point(k,l,m);
    M:=milieu(S,A);
    N:=milieu(S,D);
    O:=milieu(A,C);
    P:=plan(O,M,N);
    Q:=plan(S,B,C);
    est_parallele(P,Q);

On obtient : 1
ce qui veut dire que les plans P et Q sont parallèles.
La démonstration géométrique :
Soit R le milieu de AB.
On a :
M est le milieu de SA et N est le milieu de SD, donc MN est parallèle à AD et 2*MN=AD
M est le milieu de SA et R est le milieu de AB, donc MR est parallèle à SB et 2*MR=SB
O est le milieu de AC et R est le milieu de AB, donc OR est parallèle à CB et 2*OR=CB
ou encore :
2*MN=AD
2*MR=SB
2*OR=CB
La base ABCD est un parallélogramme donc :
overrightarrowAD=BC
On en déduit que MNOR est un parallélogramme dont le plan est parallèle à la face SBC.